Una distinzione fondamentale nella struttura e nella morfogenesi dei sistemi è quella tra ordinati e disordinati. Come spiegato da Bateson nel suo metalogo i sistemi ordinati sono quasi impossibili per ragioni puramente statistiche: nell'esempio, la scatola di colori di Cathy è "in ordine" se si trova in, diciamo, dieci posizioni sullo scaffale mentre nella stanza vi sono, per ipotesi, cento milioni di possibili posti e posizioni dove si può trovare, allora la probabilità che il sistema "scatola di colori nella stanza di Cathy" sia "in ordine" è di una su dieci milioni. In generale i sistemi considerati "ordinati" presentano sempre un qualche grado di simmetria, come nei cristalli nello stato solido o nelle varie forme viventi in biologia. La caratteristica dei sistemi simmetrici è la drastica riduzione della quantità di informazione necessaria per descriverli e per sintetizzarli. Nei cristalli, ad esempio, è sufficiente definire la cella elementare per conoscere tutta la struttura cristallina, a parte i difetti reticolari sempre presenti. In una simmetria bilaterale, come quella umana assiale verticale, è sufficiente l'informazione di metà della struttura, l'altra metà è automaticamente replicata simmetricamente.
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| Un esempio classico di sistema simmetrico |
I sistemi disordinati, come ad esempio le molecole di un gas rinchiuso in un certo volume, sono stati tradizionalmente trattati in modo probabilistico tramite la meccanica statistica. Nell'esempio, mentre la descrizione classica di posizione nel tempo delle molecole è praticamente impossibile e appare completamente disordinata, le variabili macroscopiche statistiche, come pressione e temperatura, sono definibili in modo preciso e determinano completamente lo stato termodinamico del sistema. Se le variabili macroscopiche di stato in considerazione sono due allora sono rappresentate in modo bidimensionale:
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| Diagramma di fase per l'acqua. La linea di fase verde mostra la transizione tra liquido e solido, quella blu tra liquido e gas. |
o in modo tridimensionale se sono tre:
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| Diagramma di fase 3D per una quantità fissa di un generico materiale. |
I diagrammi risultanti sono conosciuti come diagrammi di fase e definiscono completamente lo stato termodinamico del sistema anche se questo, dal punto di vista fisico-strutturale dei componenti, è completamente disordinato. I diagrammi di fase sono statici, e non rappresentano l'evoluzione dinamica nel tempo del sistema, ma solo lo stato di questo per determinati valori delle sue variabili di stato. Per caratterizzare la dinamica di un sistema i diagrammi di fase sono stati generalizzati nei cosidetti diagrammi di stato (o spazio delle fasi, o spazio degli stati), introdotti da Gibbs nel 1901, e rappresentanti l'insieme di tutti i possibili stati (traiettorie o orbite) di un sistema dinamico, nel senso che ogni possibile stato dinamico del sistema corrisponde ad un'unico punto nello spazio delle fasi e viceversa. Per esempio in un sistema meccanico lo spazio delle fasi consiste generalmente in tutti possibili valori delle variabili posizione e velocità. Viceversa, un sistema dinamico si può definire in modo astratto come una regola per l'evoluzione nel tempo delle traiettorie delle variabili di stato in uno spazio delle fasi. I sistemi dinamici sono caratterizzati dal loro grado di libertà, ovvero la dimensione del loro spazio delle fasi dovuta al numero di variabili che lo descrivono completamente. Se il grado di libertà è 1 lo spazio delle fasi è unidimensionale e si riduce ad una linea di fase in un'unica variabile di stato x, come nel caso il sistema sia una reazione chimica in cui la variabile di stato è la concentrazione del reagente, oppure un circuito elettrico passivo RC caratterizzato dalla tensione ai capi del condensatore. Al variare dello stato del sistema f(x) la linea di fase identifica gli stati di equilibrio, dove f(x)=0, in quelli stabili o instabili e le traiettorie che li connettono. In questo caso la rappresentazione unidimensionale è definita da intervalli e cerchi, ad esempio:
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| Spazio delle fasi unidimensionale |
dove i cerchi vuoti rappresentano punti di instabilità del sistema, mentre quelli pieni punti stabili di equilibrio. Ad esempio se x è la posizione angolare di un pendolo e f(x) la velocità i punti dove la velocità è zero, cioè il pendolo è fermo, sono:
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| Stati di equilibrio stabili e instabili |
entrambi gli stati del sistema sono di equilibrio (il sistema è a riposo), ma lo stato di destra è stabile mentre quello di sinistra instabile. Una minima variazione nel primo stato riporta il sistema al punto di riposo, mentre nel secondo lo allontana verso un punto di stabilità.
Gli intervalli tra i cerchi possono essere quindi stabili o instabili e le freccie descrivono l'evoluzione (traiettoria) della variabile di stato x nei punti intermedi verso la stabilità.
Nel caso le variabili di stato di descrizione siano due lo spazio delle fasi diventa un piano delle fasi nelle due variabili di stato x e y, ad esempio posizione e velocità di una particella, lo stato di un sistema preda-predatore o la concentrazione di due reagenti in una reazione chimica omogenea. Ad esempio se il sistema è un pendolo ideale (senza attrito) il piano delle fasi è:
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| Spazio delle fasi bidimensionale per un pendolo senza attrito. |
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| Spazio delle fasi bidimensionale con punto focale (pendolo con attrito). |
che rappresenta in generale un sistema dinamico in cui la traiettoria evolve verso un punto focale di stabilità. Nel caso del pendolo reale con attrito portato fuori equilibrio le variabili di stato "spiraleggiano" verso il punto di equilibrio a velocità zero e posizione verticale.
Dai diagrammi di stato precedenti si nota una corrispondenza tra l'"ordine" del sistema reale e la sua rappresentazione nello spazio delle fasi. Nel caso del pendolo le sue oscillazioni regolari (dette anche "armoniche") ordinate corrispondono a linee ordinate nello spazio delle fasi.
La stessa corrispondenza vale per sistemi dinamici che presentino disordine nelle loro variabili di stato. Se al pendolo viene applicata una forza esterna, tipo una torsione nel fulcro applicata tramite un motore, il moto circolare del pendolo diventa particolarmente disordinato, e corrispondentemente diventano le traiettorie nello spazio delle fasi:
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| Spazio delle fasi bidimensionale per un pendolo con applicata una forza esterna. |
Una caratteristica molto particolare di alcuni sistemi dinamici è quella dell'apparire di un cambiamento qualitativo della sua dinamica e del numero o della natura dei suoi punti di equilibrio, situazione che nello spazio delle fasi appare e viene denominata come biforcazione.
La descrizione delle biforcazioni nel caso di reazioni chimiche è stata trattata da Prigogine e Stengers. Nello spazio delle fasi ad un certo valore critico di una delle variabili di stato la linea di fase si divide in due (o più) linee che fanno emergere due nuove traiettorie stabili del sistema, come nella figura seguente dove X può rappresentare la concentrazione di un componente chimico coinvolto nella reazione in funzione di un parametro di controllo della reazione stessa, ad esempio la temperatura o la concentrazione di un'altro componente:
La questione è quale delle due traiettorie il sistema "sceglierà" al punto di biforcazione? Vi è una "scelta" tra due possibilità, rappresentate dalla distribuzione spaziale della concentrazione X nelle figure seguenti:
Le due strutture sono immagini speculari l'una dell'altra, e il sistema non "distingue" tra destra e sinistra. Nella prima la concentrazione X è più alta a sinistra, nella seconda a destra. Come il sistema sceglierà tra destra e sinistra? Prigogine e Stengers fanno notare che vi è un elemento irriducibile casuale per cui le equazioni cinetiche macroscopiche del sistema chimico non possono predirre l'evoluzione del sistema. Nella figura seguente viene illustrato un diagramma di biforcazioni più complesso nel quale il sistema ha la "scelta" tra diversi comportamenti stabili e instabili:
Il percorso "storico" lungo il quale il sistema si evolve incrementando il parametro di controllo è caratterizzato da un susseguirsi di regioni stabili, dove valgono leggi deterministiche, e di instabili, presso i punti di biforcazione, dove il sistema può "scegliere" fra due o più futuri possibili. Sia il carattere deterministico delle equazioni cinetiche in cui l'insieme degli stati possibili e la loro rispettiva stabilità può essere calcolata, sia le fluttuazioni casuali che "scelgono" tra gli stati intorno ai punti di biforcazione sono inestricabilmente collegati. Questa miscela di caso e necessità, determinismo e casualità, costituisce la storia del sistema.
La caratteristica delle biforcazioni di un sistema dinamico con aspetti deterministici/casuali/caotici si può estendere come metafora anche a sistemi non formalizzabili, quali la storia umana:
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| Evoluzione con biforcazioni di un sistema storico. |
Il passaggio da sistemi ordinati a sistemi disordinati e da sistemi semplici a sistemi complessi è storicamente fatta riferendosi ad uno dei più importanti fisici-matematici dell'800, Jules Henry Poincaré, per due argomenti precisi.
"Tre masse puntiformi, libere di muoversi nello spazio, si attraggono reciprocamente secondo la legge newtoniana di gravitazione. Si chiede di determinarne il movimento per qualunque configurazione spaziale e velocità iniziale."
Il problema della soluzione generale del moto di più di due corpi orbitanti nel sistema solare aveva eluso i matematici sin dal tempo di
Newton. Il problema degli N-corpi alla fine del XIX secolo veniva considerato una delle maggiori sfide scientifiche. Nel 1887, in onore del sessantesimo compleanno, Oscar II, Re di Svezia, consigliato da
Gösta Mittag-Leffler, istituì un premio per chi avesse trovato la soluzione al problema. L'annuncio era piuttosto specifico:
| « Dato un sistema di un numero arbitrario di masse puntiformi che si attraggono l’un l’altra in accordo alla legge dell’inverso del quadrato di Newton, con l’ipotesi che non vi siano masse che collidono, cercare di trovare una rappresentazione delle coordinate di ogni massa come una serie in una variabile, che sia una funzione nota del tempo, e che per tutti i valori converga uniformemente. » |
Nel caso il problema non fosse stato risolto, ogni altro contributo importante alla meccanica celeste sarebbe stato considerato degno di vincere il premio. Il premio fu assegnato a Poincaré, sebbene egli non avesse risolto il problema. Uno dei giudici,
Karl Weierstrass, disse:
"Questo lavoro non si può proprio considerare la soluzione completa del problema proposto, tuttavia è di una tale importanza che la sua pubblicazione inaugurerà una nuova era nella storia della meccanica celeste."
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| Dinamica di un sistema a tre corpi in un campo gravitazionale. |
L'importanza, anche pratica, del problema dei 3 (N) corpi è evidente. Sistemi planetari come le
lune di Giove,
stelle binarie con pianeti e il problema (semplificato) del moto di un satellite artificiale tra la Terra e la Luna o entro un sistema planetario come quello gioviano o di Saturno sono tra i più rilevanti. Il passaggio dal problema dei due corpi, risolto completamente dalla meccanica newtoniana (spiegando - ad esempio - le
leggi orbitali descritte sperimentalmente da
Keplero), a quello a tre corpi segna il passaggio da quelli che
Weaver definiva problemi
semplici a problemi
complessi.
La risoluzione analitica in forma esplicita del problema non è possibile, mentre quella numerica mostra anche in questa caso una estrema dipendenza delle traiettorie orbitali dalle condizioni iniziali del sistema:
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| Rappresentazione 2D di un sistema a tre corpi. |
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| Rappresentazione 3D di un sistema a tre corpi. |
Il secondo argomento discusso da Poincaré fu quello della predizione del tempo metereologico.
«Perché i meteorologi fanno tanta fatica a predire il tempo con qualche certezza?». È questa una domanda ricorrente nei discorsi comuni, magari dopo che bollettini improbabili ci hanno rovinato la gita del fine settimana. Sorprendentemente queste parole però vengono da un ponderoso trattato dei primi del ‘900 di Henri Poincaré, dedicato alla teoria della probabilità.
Poincaré anticipava i tempi e in un’epoca ferocemente determinista cominciava a vedere i limiti della prevedibilità matematica del mondo meccanico e infatti aveva una risposta a quell’interrogativo:
«Le grandi perturbazioni – scrive Poincaré – si producono in genere nelle regioni in cui l’atmosfera è in equilibrio instabile. I meteorologi vedono bene che quest’equilibrio è instabile, che un ciclone sta per nascere da qualche parte; ma dove non sono in grado di dirlo; un decimo di grado in più o in meno in un punto qualunque e il ciclone scoppia qui e non là e stende le sue devastazioni su contrade che avrebbe risparmiato. Se si fosse conosciuto questo decimo di grado, lo si sarebbe potuto sapere in anticipo, ma le osservazioni non erano né abbastanza ravvicinate, né abbastanza precise, ed è per questo che tutto sembra dovuto all’intervento del caso. Qui troviamo ancora lo stesso contrasto tra una causa minima, inapprezzabile per l’osservatore, e degli effetti considerevoli, che sono a volte degli spaventosi disastri».
Negli anni 70 Edward Lorenz aveva costruito un modello semplificato dell'aria che si muove nell'atmosfera terrestre, con 12 equazioni ed altrettante variabili per descrivere il "tempo che farà". Ma i risultati non erano mai uguali: oscillavano in maniera apparentemente regolare eppure mai periodica. Lorenz decise di calcolare tutto su tempi più lunghi e si accorse di trovarsi di fronte a un caso di forte dipendenza dalle condizioni iniziali, di quelli ipotizzati da Poincaré. E non c’era nulla di patologico: ogni conto, ripetuto con diverse condizioni iniziali, mostrava lo stesso fenomeno. I parametri ripassavano più volte vicinissimi a valori già assunti, ma non li riproducevano mai esattamente. L’instabilità era presente per tutte le condizioni iniziali possibili; due traiettorie, per quanto vicine, alla fine divergevano sempre. Minore era la differenza tra le condizioni iniziali, maggiore era il tempo necessario perché le traiettorie si allontanassero di una data distanza, ma in un tempo abbastanza lungo l’allontanamento si verificava sempre. Una precisione finita fissata nella previsione per tempi arbitrariamente lunghi implicherebbe, di fatto, una precisione infinita nella misura delle condizioni iniziali, ovviamente impossibile. Il fatto che una differenza piccolissima bastava a produrre evoluzioni successive diverse che davano un moto simile al passato ma mai uguale, mai ripetitivo, definirono un nuovo tipo di moto imprevedibile: il caos.
L’instabilità implica dunque incertezza ineliminabile sulle previsioni. Caos significa di fatto impredicibilità. Prevedere significa ricostruire, stabilire relazioni tra punti ed istanti. Quanto maggiore è l’informazione necessaria e quanto più lungo il processo, tanto più complesso è il fenomeno che si sta studiando.
Ci vollero anni prima che la scoperta di Lorenz, tanto inaspettata ed anti-intuitiva, venisse recepita dalla comunità scientifica e compresa in tutta la sua portata.
Lorenz scrive: «Fu un meteorologo a notare che se la teoria fosse stata corretta, un battito d’ali d’un gabbiano sarebbe stato sufficiente ad alterare per sempre l’evoluzione delle condizioni atmosferiche». Poi arrivò la gloria e Lorenz parafrasò quell’immagine rendendola ancora più lieve: intitolò la sua conferenza "Predictability: Does the Flap of a Butterfly’s Wings in Brazil set off a Tornado in Texas?" Da allora il mondo chiamerà la forte dipendenza dalle condizioni iniziali effetto farfalla.
Il lavoro di Lorenz portò alla luce un'altra caratteristica peculiare dei sistemi dinamici caotici nello spazio delle fasi: gli attrattori, definiti come un insieme verso il quale evolve un sistema dinamico dopo un tempo sufficientemente lungo. Perché tale insieme possa essere definito come attrattore le traiettorie che arrivano ad essere sufficientemente vicine ad esso devono rimanere vicine anche se leggermente perturbate. Dal punto di vista geometrico un attrattore può essere un punto, una curva, una
varietà, o anche un insieme più complicato dotato di struttura
frattale o caotica e noto con il nome di
attrattore strano. La descrizione degli attrattori dei sistemi dinamici caotici è stata uno dei fondamenti della
teoria del caos.
Una traiettoria di un sistema dinamico su un attrattore non deve soddisfare nessuna proprietà particolare, escludendo il fatto che deve rimanere sull'attrattore. Le traiettorie possono essere periodiche, caotiche o di qualunque altro tipo.
Un esempio classico di attrattore, in questo caso strano, è quello
modellato da Lorenz e riportato in 3D per tre variabili di stato:
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| Attrattore strano di Lorenz |
L'evoluzione nel tempo delle tre variabili di stato per uno specifico attrattore di Lorenz:
mostra un andamento caotico, diverso per ogni minima variazione delle condizioni iniziali dell'attrattore.
Lo studio dell'attrattore di Lorenz porta un esempio dell'"effetto farfalla":
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| tempo 0 ≤ t ≤ 30 |
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| coordinata z |
Le figure mostrano due traiettorie dell'attrattore che evolvono in uno spazio tridimensionale per uno stesso periodo di tempo. La differenza tra il segmento blu e quello giallo è che la condizione iniziale ha una differenza di 10-5 rispetto alla coordinata z. Il secondo grafico indica la differenza tra le due traiettorie: all'inizio le traiettorie sono quasi coincidenti ma all'istante 23 si ha una brusca divergenza dove si separano per una distanza analoga alla loro dimensione. Dalla prima immagine si nota che le due traiettorie terminano in posizioni radicalmente diverse.
Un sistema dinamico può avere diversi attrattori, e la "scelta" tra questi dipende sempre dalle condizioni iniziali:
Nonostante i prodromi ottocenteschi, una vera e propria
teoria del caos si è sviluppata solo a partire dagli anni '60 del Novecento, quando l'impiego dei computer consentì di compiere osservazioni controllate e allestire simulazioni numeriche.
In teoria del caos l'enfasi è posta sulla forte dipendenza del sistema dalle condizioni iniziali, nel senso che a variazioni infinitesime di queste possono aver luogo variazioni finite della traiettoria nello spazio delle fasi. Si parla allora di "
caos deterministico", per sottolineare come l'evoluzione di un sistema possa farsi imprevedibile anche a partire da leggi di base ordinate o addirittura deterministiche.
La differenza radicale tra sistemi caotici e sistemi disordinati è proprio nel fatto che i primi sono, in linea teorica, deterministici ma imprevedibili, mentre i secondi sono prevedibili in senso statistico. Ad esempio questi due tipici esempi di sistemi caotici:
che appaiono del tutto casuali sono in realtà deterministici; entrambi rappresentano "la soluzione" dell'evoluzione del sistema in quelle particolari condizioni, determinate da un numero enorme di condizioni iniziali e al contorno. Ogni "soluzione" è unica e determinata, anche se impredicibile, e non "la più probabile".
Un ulteriore classico esempio di questo tipo (oltre al problema dei tre corpi), è la cosidetta
mappa logistica di Robert May, un biologo che si è occupato di dinamica delle popolazioni e di ecologia teorica. Nel 1976 May formulò una semplice successione iterativa non-lineare di tipo polinomiale per costruire un modello demografico che descrivesse la crescita di tipo esponenziale di una popolazione con competizione intraspecifica per le risorse (mortalità) quando la popolazione raggiunge valori elevati, con i vincoli che le risorse siano illimitate e non vi sia competizione interspecifica con altre specie.
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| Mappa logistica di May. x rappresenta la popolazione annuale calcolata sul lungo termine, r è un tasso combinato tra la riproduzione e la mortalità. |
Il diagramma della mappa logistica mostra comportamenti estremamente diversi al variare del tasso r, in particolare all'aumentare di r oltre il valore di 3 iniziano ad apparire una serie di biforcazioni che per r maggiore di circa 3.6 diventano caotiche con caratteristiche frattali.
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| 100 generazioni della mappa logistica della popolazione x con il parametro r che varia da 0 a 4. |
Le caratteristiche frattali della parte caotica della mappa logistica si possono mettere in relazione con le caratteristiche dell'
insieme di Mandelbrot:
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| Corrispondenza dinamica tra mappa logistica e il Mandelbrot set. |
La relazione tra le rappresentazioni dei sistemi caotici e i frattali presenta alcune analogie e differenze. La differenza principale è che i primi esprimono l'
imprevedibilità, il fatto che non si può prevedere in anticipo l'andamento del sistema su tempi lunghi rapportati al tempo caratteristico del sistema a partire da assegnate condizioni al contorno, mentre la caratteristica principale è l'
auto-similarità e l'
invarianza di scala, il fatto che a qualsiasi scala di ingrandimento di una sua parte l'oggetto è simile o uguale a se stesso. Le analogie principali sono che le loro rappresentazioni contengono una complessità molto elevata, se non infinita o meta-infinita, mentre le equazioni che li producono sono molto semplici, anche se
non-lineari, e contengono operazioni non più complicate che moltiplicazioni ed addizioni.
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| chaos edge |
Il comportamento caotico imprevedibile ma deterministico di sistemi apparentemente semplici e soggetti a leggi controllate e deterministiche è la radicale novità rispetto alla fisica classica, dove si riteneva che fossero sempre completamente calcolabili. L'insorgenza di comportamenti caotici in sistemi semplici e ordinati viene spesso denominata "il bordo del caos".
Così come il bordo tra strutture dissipative e strutture replicative segna un confine reciproco tra caos e ordine.
La relazione tra caos e complessità, in cui la complessità di un sistema non necessariamente implica un comportamento caotico e viceversa, è uno degli ambiti di studio più perseguiti attualmente, tanto che alcuni autori hanno coniato l'orrendo termine "caocomplessità" per evidenziarne l'unione delle ricerche. Ad esempio le relazioni tra sistemi ordinati-bordo del caos-caos si possono ripercuotere a diversi livelli di complessità, ad esempio da fisico a molecolare a biologico:
e la distinzione tra le varie caratteristiche dei sistemi si possono raggruppare a seconda del grado di calcolabilità (agreement tra modello teorico e reale) e imprevedibilità (certainty dei risultati del modello):
La figura illustra alcune caratteristiche riassuntive dei sistemi complessi e caotici:
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| Il movimento degli indignati di Wall St. (NYC, 2011) ha ben chiara la distinzione tra caos e complessità. |
