il centro del Tao

Stazione ferroviaria di Perpignan, Francia

Salvador Dalí, La Gare de Perpignan, 1965, olio su tela 296x406 cm,  Museum Ludwig,  Köln

Scritta su uno dei marciapiedi della stazione in omaggio a Dali

In un suo discorso del 1979, Salvador Dalí descrisse la teoria di Thom come 'la più bella teoria estetica nel mondo'. Egli ricordò anche il suo primo e unico incontro con René Thom, un incontro tra due personalità quantomeno "originali". Dalí chiese a cosa stava lavorando e Thom presumibilmente rispose che stava studiando le placche tettoniche; questo provocò Dalí a chiedere a Thom riguardo ad una sua vecchia convinzione sulla stazione ferroviaria di Perpignan, in Francia, che l'artista aveva dichiarato nel 1960 essere il centro dell'universo. Dalí aveva affermato che mentre era nella sala d'attesa della stazione aveva avuto alcune tra le sue migliori idee ma, più prosaicamente, forse era dovuto al fatto che la stazione era un passaggio obbligato per tutti i suoi viaggi. Thom rispose (si presume per cortesia, ma non si può escludere anche in senso letterale): "Vi posso assicurare che la Spagna è precisamente imperniata - non nell'area - ma esattamente nel punto dove si trova oggi la stazione ferroviaria di Perpignan". A Dalí questa risposta di uno dei matematici più brillanti del tempo intrigò enormemente, e i suoi ultimi quadri furono una serie sulle catastrofi dedicata in omaggio a Thom.

Salvador Dalí, Contorsione topologica di figura femminile, (1983)

e in particolare il suo ultimo dipinto, del Maggio 1983:

Salvador Dali, the Swallow's Tail (La queue d'aronde), 1983

"La sola differenza tra me e un pazzo
è che io non sono pazzo"

Salvador Dali Museum, Barcelona, Provincia de Barcelona, Cataluna, Spain

catastrofi del Tao

Nei sistemi dinamici è rilevante la complementarietà ricursiva tra forma (o struttura) e processo. La forma del sistema e/o la struttura-configurazione dei suoi elementi dinamici determina quali tipi di processo possono avvenire, viceversa i processi di sistema sono determinati dalla struttura e dalla dinamica dei componenti.  Particolarmente in biologia il processo che porta ad una determinata forma o struttura è denominato morfogenesi, la genesi (creazione) della forma, dal greco morfè.
Nell'ambito di quella che oggi è la moderna teoria del caos René Thom propose in modo pionieristico negli anni 50 e 60 una sofisticata teoria generale della morfogenesi conosciuta come teoria delle catastrofi, una branca della teoria delle biforcazioni nello studio dei sistemi dinamici e un caso particolare della teoria delle singolarità globale.

Il libro di Thom fu commentato da alcuni autori come "un enigma sia per la forma che per il contenuto. Era largamente inaccessibile alla comunità matematica perchè scritto nel linguaggio dei biologi, e inaccessibile alla comunità dei biologi per la presentazione di una serie di concetti matematici di topologia differenziale che sembravano profondi e misteriosi."

La teoria di Thom fu ulteriormente sviluppata nelle sue possibili applicazioni e resa conosciuta negli anni 70 dal lavoro di Christopher Zeeman e successivamente estesa da Vladimir Arnol'd. Thom ricevette nel 1958 la Fields Medal, l'analogo del premio Nobel nell'ambito della matematica, per i suoi lavori di topologia differenziale.

Un esempio tra i più semplici di sistema catastrofico è quello illustrato in figura, dove una palla è libera di muoversi sotto l'effetto della gravità in un contenitore con due buche di potenziale gravitazionale.

Il sistema ha due punti di equilibrio stabile, sul fondo delle buche, e uno instabile in cima alla separazione tra le due buche e può essere completamente descritto in uno spazio degli stati, dove le variabili di stato si possono scegliere come l'angolo di tilt del contenitore rispetto alla posizione orrizzontale (variabile di controllo) e la posizione della palla. Il sistema è quindi modellizzabile come un sistema di tipo input/output, dove la posizione della palla (l'output) dipende dalla variabile di controllo (l'input).

Una catastrofe è definita come un punto della relazione output/input dove una variazione minima dell'input provoca una grande variazione dell'output; corrispondentemente la variazione della relazione output/input presenta una singolarità.

Nel sistema in esempio ruotando l'angolo di tilt in senso orario o antiorario si hanno due catastrofi simmetriche appena oltre le posizioni 2 e 6, dove la palla passa da una buca all'altra.

Questo semplice sistema illustra tutti i punti cruciali della teoria: per la maggior parte dei valori della variabile di controllo non succede nulla, la posizione rimane praticamente invariata; per i valori critici la posizione cambia drasticamente valore in modo non-lineare e corrispondentemente il sistema palla più contenitore cambia radicalmente topologia/forma passando la palla da una buca all'altra - la massima variazione possibile di struttura per questo sistema. E' da notare che, oltre alla particolare configurazione, deve esistere un meccanismo che ne regoli la dinamica, in questo caso la forza di gravità verso il basso, e inoltre la variazione considerata dello spazio degli stati deve essere limitata, o locale - oltre un certo valore della variabile di controllo il sistema ha una catastrofe totale irreversibile, cioè la palla esce dal contenitore, trasformandolo in uno completamente diverso.
Nell'esempio il sistema - pur esibendo due punti di catastrofe - è reversibile: muovendo avanti e indietro la variabile di controllo lo stato del sistema si porta nei due stati di equilibrio attraverso le due catastrofi. Altri sistemi possono essere irreversibili, ad esempio sistemi fisici di cui si solleciti l'elasticità: se si piega una forchetta con una certa forza entro i limiti elastici del materiale e poi si annulla questa torna alla forma originaria ma oltre un dato limite di elasticità diventa piegata in modo irreversibile, ed oltre ad un ulteriore limite di rottura si spezza in due parti, una vera e propria catastrofe totale irreversibile che modifica la morfologia del "sistema forchetta" da un'unico pezzo a due.
La raffigurazione in 2D di un sistema con una variabile di controllo e una di stato è, per esempio:

dove vi sono due punti di catastrofe in cui per una minima variazione della variabile di controllo si hanno ampie variazioni di quella di stato, e si presume una corrispondente variazione della configurazione del sistema.
Una rappresentazione generica in 3D per due variabili di controllo e una di stato è del tipo:

rappresentabile come un sistema dinamico con due input e un output. Il sistema ha due stati, ad esempio se il sistema rappresenta un gas/liquido e la variabile di stato è la densità e quelle di controllo temperatura e pressione lo stato inferiore rappresenta la fase gassosa del sistema e quella superiore la fase liquida e la traiettoria in verde rappresenta l'usuale transizione di fase da liquido a gas e viceversa.
La superficie di stato (o di equilibrio) può non presentare singolarità, cioè è "liscia" in ogni suo punto (come nel percorso verde precedente), oppure come in figura avere un "ripiegamento" topologico della sua struttura, che presenta una catastrofe di stato quando le due variabili di controllo la percorrono, come nel caso rosso della figura precedente o quello del percorso A in quella seguente:

Il comportamento del sistema nella parte catastrofica della superficie di stato dipende dal percorso:

Nel percorso A trasversale alla singolarità catastrofica in 2D si presenta un tipo di catastrofe ad S, mentre longitudinalmente (perpendicolare al percorso A) si trova una biforcazione.

La proiezione della singolarità sul piano della variabili di controllo, detta insieme di biforcazione, è denominata - in questo caso - cuspide e presenta un punto singolare.

Manoscritto originario di Thom per una biforcazione a cuspide in 2D

Quando un punto di catastrofe è presente in una superficie di stato vi sono diversi fenomeni che posso avere luogo, detti flags della catastrofe: 

In una catastrofe a cuspide come quella rappresentata vi sono cinque flags "classici" che avvengono quandi si ha un cambiamento qualitativo/strutturale del sistema: modalità, salto improvviso (sudden jump),  inaccessibilità, sensibilità e isteresi. I rimanenti tre, come i precedenti, avvengono quando si ha un cambiamento strutturale ma possono essere osservati anche prima del cambiamento e sono denominati flags "diagnostici": divergenza della risposta lineare, dilatazione del tempo e varianza anomala. Ad ognuno di questi flags corrisponde un diverso comportamento catastrofico del sistema.

Il risultato maggiore di Thom, conosciuto come teorema di classificazione, attesta che per un numero di variabili di controllo minore o uguale a 4 vi possono essere solo sette tipi di singolarità, denominate da Thom catastrofi elementari:

La struttura (o la proiezione) della superficie di stato in 3D per due variabili di controllo per le prime cinque catastrofi elementari è:

Le singolarità delle superfici di stato locali dei sistemi dinamici non sono quindi arbitrarie ma devono necessariamente, se esistono, appartenere ad una delle sette catastrofi elementari definite dal teorema di classificazione di Thom.
Di queste quella più utilizzata per modellare sistemi reali è la cuspide, sia perchè è la più semplice sia perchè è fra le uniche due riproducibili interamente in uno spazio 3D. Un esempio fisico misurabile riprodotto da questa catastrofe elementare è il punto critico nella transizione di fase tra un liquido e un gas nelle variabili di controllo temperatura e pressione e in quella di stato densità:

Nelle condizioni di un fluido/gas perfetto la superficie di equilibrio non presenta discontinuità e il passaggio da liquido a gas (ebollizione) e da gas a liquido (condensazione) avviene alla stessa temperatura a parità di pressione.In un sistema gas/liquido reale possono accadere le condizioni in cui un liquido sia portato ad un temperatura maggiore di quella di ebollizione e un gas ad una inferiore a quella di condensazione (vapore e liquido sovrassaturo). In questo stato il sistema è metastabile e può effettuare un sudden crash verso l'una o l'altra condizione stabile di equilibrio.

L'applicazione della teoria delle catastrofi a sistemi reali è stata perseguita basandosi sul fatto che sia le variabili coinvolte sia il teorema di classificazione sono del tutto generali e la loro teoria è completa, e quindi applicabile in linea di principio a ogni tipo di sistema. La difficoltà di applicazione consiste nel fatto che se il sistema non è formalizzabile o misurabile la teoria rimane qualitativa, un'utile rappresentazione o metafora per spiegare la dinamica del sistema, ma non utilizzabile per predizioni quantitative. Nella sua review del 1976 su Scientific American Zeeman porta una serie di esempi di applicazione in settori molto diversi quali l'etologia, la psicologia, l'economia, la politica della guerra e i disturbi mentali o di comportamento quali l'anoressia nervosa.
Ad esempio Zeeman riporta un'applicazione alla politica della guerra modellata su una catastrofe elementare di tipo a farfalla:

La catastrofe a farfalla modella il comportamento su quattro variabili di controllo e in questo caso, per poterla rappresentare in 3D, solo due sono utilizzate - costo e minaccia - mentre le altre due sono assunte costanti. La variabile di stato è il risultato che si ottiene e varia dall'attacco militare alla resa alla negoziazione.
Un altro esempio è un modello economico del comportamento di borsa modellato da una catastrofe a cuspide:

nel quale le variabili di controllo sono l'eccesso di domanda e la speculazione e la variabile di stato è tasso di cambiamento dell'indice dei prezzi. I due livelli della superficie sono quelli comunemente definiti come bull e bear markets (rialziasta e ribassista). Il crash tramite un flag di sudden jump nella catastrofe a cuspide tra alti e bassi valori di mercato è provocato quando con alti indici di mercato e un'alta percentale di speculatori nel bull market un qualsiasi evento riduca la domanda e faccia precipitare gli indici sui valori bassi del bear market.
E' evidente come questo esempi di aplicazione della teoria delle catastrofi siano rappresentativi ma difficilmente quantitativi. L'utilizzo soprattutto della catastrofe a cuspide è stato invocato per rappresentare ogni tipo di "sistema" e di "stati" in modo del tutto metaforico, ad esempio:

questa cuspide vorrebbe rappresentare genericamente il comportamento ottenuto su vari percorsi di "ottimismo" e "pessimismo", passando attraverso stati di disastro, declino, neutralità, miglioramento e utopici con un possibile crash catastrofico che da elevati comportamenti utopici portano a un disastro.

Il senso della teoria secondo Thom può essere riassunto in questa risposta da un'intervista del 1988:

"La teoria delle catastrofi ha un programma che è facile da esporre: si tratta di spiegare le forme naturali. Quando posiamo il nostro sguardo sul mondo, constatiamo che l’universo non è un caos, che è diviso in forme relativamente distinte, ben separate le une dalle altre.
E’ più simile all’ordine di un cosmo che non un caos. Da questo punto di vista, ciò che la teoria delle catastrofi tenta di fare è di esplicare l’origine e la successione delle forme naturali così come le percepiamo nel mondo che ci circonda. Questo punto di vista della teoria delle catastrofi è abbastanza nuovo, nel senso che essa si propone di edificare una teoria che spieghi la genesi delle forme indipendentemente dal substrato materiale che le compone. Questo ha qualcosa di un po’ paradossale, perchè sappiamo per certo che una nuvola non ha la stessa consistenza di un blocco di marmo, e che di conseguenza la permanenza delle forme è strettamente legata alla natura del loro substrato. Non ci sono dubbi sul fatto che la natura del substrato abbia effettivamente un ruolo di primo piano nel determinare il carattere più o meno permanente, o al contrario più o meno transitorio, di una forma. Ma, ciononostante, la teoria delle catastrofi adotta un punto di vista risolutamente indipendente dal substrato. In altre parole, ci si pone in un’ottica per cui c’è qualcosa come un etere soggiacente che riempie
tutto lo spazio. Una materia prima, avrebbe detto Aristotele. Questa materia prima è sottomessa a delle sollecitazioni che le fanno adottare questo o quell’altro tipo di materia. Quello che la teoria delle catastrofi propone sono gli schemi generali che permettono di spiegare la genesi delle forme.
Facciamo l’esempio del piano della scrivania, che è qui davanti a me: abbiamo uno spigolo che separa la superficie orizzontale della scrivania dalla parete verticale. Questo spigolo per me è un luogo di catastrofe, perchè separa due superfici che hanno delle funzioni e degli orientamenti diversi. La natura del substrato è evidentemente la stessa: dell’aria da una parte e del legno dall’altra. Ma se si vuole risalire all’origine delle forme, ci si renderà conto che questo spigolo trae origine dal fatto che l’asse di legno che costituisce la scrivania è stata inizialmente segata da una sega, diciamo metallica, il cui disco ha tracciato una linea di contorno nel legno dell’asse. Ed è il conflitto fra l’acciaio della sega e la materia legno che ha generato la forma. La teoria delle catastrofi, se volete, ritorna alla vecchia idea eraclitea che il conflitto è il padre di tutte le cose. Qualsiasi forma deve la sua origine ad un conflitto."

Salvador Dali, Enlevement topologique d’Europe. Hommage à René Thom, 1983

Tao obbligatorio

(citazione "Born in U.S.A.")

A noi ci hanno insegnato tutti gli americani.

Se non c'erano gli americani... a quest'ora noi eravamo europei, vecchi, pesanti, sempre pensierosi, con gli abiti grigi e i taxi ancora neri.

Non c'è popolo che sia pieno di spunti nuovi come gli americani. E generosi.

Gli americani non prendono mai. Dànno... dànno.
Non c'è popolo più buono degli americani.

I tedeschi sono cattivi. È per quello che le guerre gli vengono male!...

Ma ci riprovano, non stanno mai fermi. Ci hanno il diavolo che li spinge: dai... dai!...

Intanto dio fa il tifo per gli americani. E secondo me ci influisce, non è mica uno scalmanato qualsiasi, dio. Ci influisce. E il diavolo si incazza.

Stupido, prende sempre i cavalli cattivi!...

Già, ma non può tenere per gli americani. Per loro le guerre sono una missione.
Non le hanno mai fatte per prendere, macchè, per dare! C'è sempre un premio per chi perde la guerra: Quasi, quasi conviene: "Congratulazioni, lei ha perso ancora!..."
E giù camion di caffè!

A loro gli basta regalare.

Una volta gli invasori si prendevano tutto del popolo vinto: donne, religione, scienza, cultura... Loro, no. Non sono capaci. Uno vince la guerra, conquista l'Europa e trova... non so... una lampada Liberty... che fa? Il saccheggio è ammesso... la fa sua. No!
Civilizzano, loro. È una passione... E te ne mettono lì una al quarzo: tutto bianco.

E l'Europa, con le sue lucine colorate, i suoi fiumi, le sue tradizioni, i violini, i valzer...

(citazione bolgie-woogie)

E poi luce, e neon, e vita, colori... e poi ponti, autostrade, grattacieli, aerei...

Chewingum!...

Non c'è popolo più stupido degli americani!

(citazione "Stranger in the night")

La cultura non li ha mai intaccati. Volutamente. Sì, perché hanno ragione di diffidare della nostra cultura elaborata, vecchia, contorta. Certo, più semplicità, più immediatezza... Loro creano così. Come cagare.

(citazione "Tutti frutti")

Non c'è popolo più creativo degli americani. Ogni anno ti buttano lì un film, bello, bellissimo. Ma guai se manca un po' di superficialità. Sotto sotto c'è sempre un po' il western. Anche nei manicomi riescono a metterci gli Indiani.

E questa è coerenza.

Gli americani hanno le idee chiare sui buoni e sui cattivi.
Chiarissime, non per teoria... per esperienza. I buoni sono loro!

E ti regalano idee, scatole di sigari, cassette di whisky, navi, libertà, sapone, computer, squali, abiti usati... Anche Eva Kant si veste ai mercatini!

A noi ci ha convinto l'America. Se non c'era l'America... a quest'ora eravamo in India.
No, se non c'era l'America a noi... che ce ne fregava dell'India!

A me l'America non fa niente bene... Troppa libertà, bisogna che glielo dica al dottore.
A me l'America mi fa venir voglia di un dittatore. Oeh!... (si arrabbiacon se stesso fino a schiaffeggiarsi) Sì, un dittatore. Almeno si vede, si riconosce.

Non ho mai visto qualcosa che sgretola l'individuo come quella libertà lì.

Nemmeno una malattia ti mangia così bene dal di dentro.

Come sono geniali gli americani!

(citazione "We shall over come")

Te la mettono lì, la libertà è alla portata di tutti, come la chitarra. Ognuno suona come vuole e tutti suonano come vuole la libertà.

il Te del Tao: XXXV - LA VIRTÙ DELLA CARITÀ'

XXXV - LA VIRTÙ DELLA CARITÀ'

Verso chi tiene in sé la grande immagine
il mondo accorre,
accorre e non riceve danno
ma calma e pace grandi.
Attratto da musiche e bevande prelibate
si ferma il viator che passa,
ma quel che al Tao esce di bocca
com'è scipito! non ha sapore.
A guardarlo non riesci a vederlo,
ad ascoltarlo non riesci ad udirlo,
ad usarlo non riesci ad esaurirlo.

il lato oscuro del Tao

  Gravitational detection of a low-mass dark satellite galaxy

at cosmological distance

S. Vegetti

Kavli Institute for Astrophysics and Space Research

Massachusetts Institute of Technology, Cambridge, Massachusetts 02139, USA

D. J. Lagattuta, C. D. Fassnacht

Department of Physics, University of California, Davis, California 95616, USA

J. P. McKean,

ASTRON, Oude Hoogeveensedijk 4, 7991 PD Dwingeloo, The Netherlands

M. W. Auger,

Department of Physics, University of California, Santa Barbara, California 93106, USA

L. V. E. Koopmans

Kapteyn Astronomical Institute, University of Groningen, PO Box 800, 9700 AV Groningen, The Netherlands

Nature 481, 341–343 (19 January 2012)

The mass function of dwarf satellite galaxies that are observed around Local Group galaxies differs substantially from simulations based on cold dark matter: the simulations predict many more dwarf galaxies than are seen. The Local Group, however, may be anomalous in this regard. A massive dark satellite in an early-type lens galaxy at a redshift of 0.222 was recently found using a method based on gravitational lensing, suggesting that the mass fraction contained in substructure could be higher than is predicted from simulations. The lack of very low-mass detections, however, prohibited any constraint on their mass function. Here we report the presence of a (1.9 ± 0.1) × 108 M dark satellite galaxy in the Einstein ring system JVAS B1938+666 at a redshift of 0.881, where M denotes the solar mass. This satellite galaxy has a mass similar to that of the Sagittarius galaxy, which is a satellite of the Milky Way. We determine the logarithmic slope of the mass function for substructure beyond the local Universe to be 1.1 +0.6 -0.4, with an average mass fraction of 3.3 +3.6 -1.8 per cent, by combining data on both of these recently discovered galaxies. Our results are consistent with the predictions from cold dark matter simulations at the 95 per cent confidence level, and therefore agree with the view that galaxies formed hierarchically in a Universe composed of cold dark matter.

il Mutamento (la Ruota della Fortuna) - X Major

Il simbolo nella carta è un'immensa ruota che rappresenta il tempo, il fato, il karma. Intorno a questo cerchio in costante movimento ruotano galassie, e sulla sua circonferenza compaiono i dodici segni dello zodiaco. Un po' più all'interno si vedono gli otto trigrammi degli I Ching, e ancora più vicino al centro sono tracciate le quattro direzioni, ognuna delle quali è illuminata dall'energia dei fulmini. Il triangolo ruotante è puntato in questo momento verso l'alto, verso il divino, mentre il simbolo cinese dello yin e dello yang, del maschile e del femminile, del creativo e del ricettivo, giace al centro. Si è detto spesso che la sola cosa che non muta nel mondo è il cambiamento stesso. La vita muta in continuazione, si evolve, muore e rinasce. Tutti gli opposti giocano una parte in questo vasto schema circolare. Se ti aggrappi al margine esterno della ruota, puoi provare un senso di vertigine! Muoviti verso il centro del ciclone e rilassati, sapendo che anche questo passerà.

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La vita ripete se stessa, immemore degli eventi: se non diventi consapevole, continuerà a ripetersi come una ruota. Ecco perché i buddhisti la definiscono "la ruota della vita e della morte, la ruota del tempo'. Gira come una ruota: la nascita è seguita dalla morte, la morte è seguita dalla nascita; l'amore è seguito dall'odio, l'odio è seguito dall'amore; il successo è seguito dal fallimento, il fallimento è seguito dal successo. Osserva soltanto! Se riesci ad osservarlo, anche solo per qualche giorno, vedrai affiorare uno schema, lo schema di una ruota. Un giorno, una bella mattina, ti senti benissimo e felice, mentre un altro giorno sei così vuoto e ottuso da iniziare a pensare al suicidio. Eppure, il giorno prima eri così pieno di vita, così estatico da sentirti riconoscente a Dio per essere in un tale stato d'animo di profonda gratitudine, mentre oggi il lamento in te sembra infinito e non vedi il motivo per continuare a vivere. Passi da uno stato d'animo all'altro, ma non vedi lo schema di fondo. Nel momento in cui te ne accorgi, ne puoi uscire.

Tao flowing trance